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数学強化週間 最終日 ー挑戦状ー

とうとう最終日です。
最終日は数学が音楽とか、数学が素敵とか、数学はロマンだとか言いません。
数学世界からの挑戦状です。
これを解けば懸賞金がもらえるというものです。
さてみなさん、挑戦しようじゃありませんか!

現代数学の行き着いた未解決の問題があります。
ミレニアム懸賞問題」といって、2000年5月、アメリカのクレイ数学研究所が懸賞金つきの数学未解決問題を発表しました。

全部で7つ。
1つにつき懸賞金が100万ドル。
期限なし。
さて解いていきましょう。

1、P=NP問題
計算量に関する最大の難問です。
数学の問題を解くのにかかる時間と、その答えの確認をするのにかかる時間には違いがあるかないかという問題です。

2、ホッジ予想
「任意の非特異射影多様性に対し、そのホッジサイクルは常に代数的サイクルである」という予想。

3、ポアンカレ予想
「単連結な三次元閉多様体は三次元球面に同相である」という予想。
1904年に、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出されました。

4、リーマン予想
現代数学で最も有名かつ難問です。
これは素数分布の謎と深く関わっています。

5、ヤン・ミルズ理論とmass gap
物資の根源(素粒子)を数学的に厳密に説明できるかという問題です。

6、ナヴィエ・エストークス方程式とsmoothess
流体力学のナヴィエ・エストークス方程式の解に関する問題。
天気予報のもとになる方程式なので、この問題が解けると天気予報の精度が高くなることが期待されます。

7、バーチとスウィナートン・ダイアーの予想

楕円曲線に関する有理数解の問題です。


ここで注意!!
3番目のポアンカレ予想。
実はグリゴリー・ヤコヴレヴィチ・ペレルマンというロシア人の数学者が2002年から2003年にかけて解いています。
その証明を複数の数学者が検証した結果、正しいものと認められ、
2010年3月18日クレイ数学研究所はペレルマンの受賞を発表しました。
しかし、彼は受賞を拒否していて、彼に与えられる賞金100万ドルは数学界へ貢献するかたちで使われることになると発表されている。
格好良いねw
多分賞金や名誉が目的ではなく、もう単に求知欲が勝ったんやろうねw
素敵。


期限がないということで、それだけ難問中の難問が用意されています。
100年かかっても解けない問題は、数学の世界ではざらにあります。

1900年パリで開催された第2回国際数学者会議において、数学者ヒルベルトは23題の問題を発表しました。
以来数学者は、この問題の解決を1つの目標に取り組むことになりました。

はたして20世紀の数学は、この問題によって牽引されたといっていい程の発展しました。
それから1世紀、2000年に発表されたのがこの7題でした。
2000年以上遡る数学の歴史は、問題を作り、問題を解き、また新しい問題を考え出し、
そしてそれに挑戦することの繰り返しだったといえるでしょう。

その現代最先端にある代表問題がこの7題といえます。
問題の意味が分からないということは、それだけ数学が発展した証でもあるのです。
数学は常に発展し続けています。
そして、高度な領域に到達しているかにみえます。

しかしながらこれらの問題は、どれもきわめて根源的であるともいえるのです。
数学の発展とは、今までも常に、より根源にせまることを意味していました。
これらの問題もその延長にあることがわかるとき、挑戦する意欲がわいてきます。

この7題の問題の意味を調べるところから始めて、解法にまで思いを馳せることは、
20世紀の数学の流れを知ることにつながります。

そして、いつの日にかこれらの問題の核心をつかみ、問題を解く人が現れることを期待しています。


Artist : Christina Aguilera
Song : Back In The Day








参考:感動する!数学
   宗教学の基礎の基礎
   数学簡単図解





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数学強化週間 第6日目  ー不完全性定理ー

数学者達が追い求めた世界。
それはロジカルコンシステンシーという論理的整合性のとれた世界で、それはこの上なく美しい、1つも矛盾のない完全無欠な数学の世界のことです。

その美しい世界は、数学者たちにとっての桃源郷でもあり、その世界を築き上げることに、
多くの数学者達が、長い年月を費やしてきました。

それは、人間が宇宙の法則によって誕生してからずっと、追い求めてきた世界なのかもしれません。
いわゆる四大文明が誕生するとともに、数学が誕生したといわれていますが、
すべてにおいて白黒ハッキリさせられるという桃源郷を追求することが、世界の数学者達の最大の夢だったようです。

19世紀のニュートン、18世紀のオイラーらによって考え出された微分積分学は、
19世紀に入りコーシーらによってその土台固めが行われることになり、
やがてカントールデデキントらの集合論というより抽象度の高い議論につながっていきました。
しかし、その集合論の中にもパラドックスが発見されてしまい、数学の土台の研究はいっそう拍車がかかっていたのです。

そして20世紀初頭、数学基礎論、数学論理学といった数字それ自体を研究する数学が活発になっていきました。
とくにヒルベルトという数学者は、数学の無矛盾性を証明することを大きな夢としていました。


ところが、このヒルベルトの夢に対して「待った!」をかけ、
数学者の夢を根底から崩してしまうような論文が、1931年に発表されました。
それが、チェコスロバキア生まれの数学論理学者ゲーデル
不完全性定理
です。

その論文は世界に大きな衝撃を与え、論文発表のニュースは全世界を駆け巡りました。
数学界ばかりか科学の世界に大きなショックを与えることになったのです。

数学の土台の完璧さを証明しようというヒルベルトの夢に対して、
ゲーデルの「不完全性定理」は「数学はその完璧さ(無矛盾性)を証明することは出来ない」ということを証明してしまったのです。
正しいのに証明出来ないことがあるというのです。
私たちの論理的思考には限界があることをゲーデルの「不完全性定理」は教えてくれたのです。

ゲーデルの「不完全性定理」は2つに分けて議論されています。

第1の不完全性定理は、
「いかなる論理体系においても、その論理体系によってつくられる論理式の中には、証明することも反証することもできないものが存在する」。
そして第2の不完全性定理は、
「いかなる論理体系でも無矛盾であるとき、その無矛盾性をその体系の公理系だけでは証明出来ない」。

これは論理で築き上げた世界を、さらに上の論理の世界で説明するもので、これを「超数学」とも言います。

数学は、論理の世界の言葉メタランゲージ(前言語)を使って説明とするものですが、
「超数学」では、さらにその上のメタランゲージ、つまりメタの上のメタ、
メタメタランゲージ(前々言語)を使って論理する世界です。

なかなか理解するのが困難になってきましたが、ちょっと乱暴に言ってしまうと、
それまでオセロゲームのように白と黒しかないと思われた世界に、
白か黒かハッキリ証明出来ないものがある、ということを証明したのです。

このようにして、論理的に実証されていたかのように見えた数学者達の桃源郷は、
ゲーデルの「不完全性定理」によって破られ、音を立てて崩れていったかのように思われました。

しかし、ゲーデルの理論はやはり厳密な数学理論なのです。
なぜなら、合理的思考の限界、言葉の構造の深い理解は彼の数学によってもたらされたわけですから。

ちなみに、ゲーデルと並ぶ論理学者ゲンツェンは「不完全性定理」の壁を乗り越え、
自然数論の無矛盾性証明(自然数世界が桃源郷であること)を成し遂げたのです。


この世に完璧などあるのでしょうか。
たとえ自然数だとしても…。


さて残るは最終日だけとなりました。
みなさん、最後まで突っ走りましょうw
最近難しい気がしますが、気のせいです。
数学は楽しいですね!

Artist : Alejandro Sanz Y Alicia Keys
Song : Looking for Paradise



数学強化週間 第5日目 ー有限と無限ー

有限無限が隣り合わせで住み着いている円。
円は有限なのに、円周率は無限というわけです。

私たちはよく、「宇宙は無限である」「無限に続く時間」とか、
何気なく「無限」という言葉を口にしていますが、無限とは一体何なのか。

辞書では「限界のないこと。無際限。現象の有限的規定(時間性と空間性)を超越するし、それらを自己の契機として含む絶対的なもの。」
と定義されています。

有限に対して無限
限りなく永遠に続く、無際限…。

なんとなくわかったような、わからないような無限という言葉に、数学的に説明をつけて、
無限にポジションを与えたのが、ドイツで活躍した数学者として名高い
ロシア人のゲオルク・カントールでした。
カントールは「無理数は有理数に比べて圧倒的に多くあるという無限にも大小があること。そしてさらに大きい無限無限に存在する」
という驚きの事実を発見しました。

例えば、直径1の円形があるとしたら、その円はきちんと閉じて完結しているのだから、
円周はいくつになるか、すっきりとした値があってしかるべきです。
しかし円周は3,14159265…と無限に続く無理数で表されるのです、永遠に…。

この円周率が割り切れる数なのかどうかは長年の疑問でしたが、1761年にランベルトによってようやく無理数であることが証明されたのです。
これが「無限」の世界の怖さです。

無限」という世界は別世界なのです。
数学を勉強して、無限を知ると、なんだかとても怖くなります。

無限とは決して単なる大きな数を示すものではなく、まるで別世界に入り込んでしまうことを示しているのです。
数学に無限を与えられたことによって、次々に新しい世界の扉が開かれていきました。

そして、数々の天才数学者が追求してきた様々な数の世界が、
まったく別の経路をたどって結局結びついてしまうことが明らかになりました。
そういう公式はいくつか存在し、その1つが有名な「オイラーの公式」です。

8c274e62c424e4c8648fb0bfb69b2089.png

目には見えない数の世界には、素数の世界があったり、複素数の世界があったりします。
インドの魔術師と異名をとる天才数学者ラマヌジャンは、
無限の世界に色をつけた」と言い、無限には色があり、無限にはメロディーがあるというのです。

ここで怪訝な顔をしたあなた!
いい疑問です。
そう、無限有限とを区別する為に、色をつける方法があるのです。
しかしそれは素粒子論の分野になるので機会があれば説明します。


無限とは…無限に続く疑問なんです。


Artist : Guru Josh
Song : Infinity





数学強化週間 第4日目 ー素数ー

落ち着け!
素数を数えて落ち着くんだ!
2…3 5…7… 落ち着くんだ…「素数」を数えて落ち着くんだ… 11…13…17……19 「素数」は1と自分の数でしか割ることのできない孤独な数字……わたしに勇気を与えてくれる。


まぁ今日は名言から始まったわけですが、数学強化週間第4日目でございます。


素数、それは数の世界の主役。
ピタゴラスの昔から、数学者は「素数」に魅入られていたようです。
ピタゴラスより2世紀ほどあとの数学者、ユーグリットの「ストイケイア」には、
素数は無限であるとの証明が残されています。

素数とは、「1より大きい数で、1とその数自身以外に約数を持たないもの」ですが、
いまだにどういうふうに分布しているのかよく分かっていません。
3と5のように2個差だったり、7と11のように4個差だったり、
たとえば100万個連続して素数が出てこない場合もあります。
今のところ素数は本当に気まぐれに出現するのです。
素数の現れる法則を示すシンプルな公式はいまだに見つかっていません。

しかし、ある数が素数かそうでないかを判定するという問題は解決しました。
ある大きな数が、素数かそうでないか判らないとき、
コンピューターを駆使してそれを判定することが出来るようになったのです。
これを「素数判定問題」というのですが、2002年、インド工科大学の研究グループがこの問題の解法を発見し、
数学関係者の間に衝撃が走りました。

素数というのは人類が長年追い求めてきたものだったので、その謎の1つが解明されたという事実に、数学界は震撼しました。

ところが、先ほども述べたように逆に素数を作り出すというか、見つけ出すような公式はまだ発見されていません。
実はあるにはあるのですが、あまりにも複雑過ぎて、実用的ではないので、これは発見されたとはいえないでしょう。
例えば、1万番目の素数は何かというのをその公式で計算するには、コンピューターを使っても何日もかかります。
それなら、素数を1から順番に手で書いていった方が早いくらいです。

ですから、全く実用的ではなくて、素数を表す公式はまだないといえるのです。
ただ、先ほども言ったように、素数が無限にあるということだけはわかっています。
出方が不規則で、何が何だかわからない世界ですが、数学者たちはあくまでも素数を追いかけ続けているのです。

でもなぜ、数学者はこれほど素数惹かれるのでしょうか。
まず、その1番大きな理由は、「1より大きなすべての整数は、素数であるか、いくつかの素数の積で表される」ということにあります。

例えば、12という数字を因数分解すると、2×2×3で、全ての素数で表されることが出来ます。
つまり、素数は全ての数の素(もと)なのです。
要するに、素数が数の世界の主役なのです。

その数に存在している人格というか、「数格」というか、まさに源になっているのです。
10や12は日常生活で非常に重要な数ですが、あくまでも素数で作られた合成数です。
素数こそ数の根本なのです。

興味深いことに、日本では昔から素数がよく使われています。
「七五三」などの行事や、俳句や短歌にも「七」や「五」の素数が用いられてきました。

華道の世界でも、池坊では花を生ける高さは「七・五・三」の割合が美しいとされています。(昨日の記事参照)
昔の日本人に「七」や「五」や「三」が素数であるという認識はなかったでしょうが、
その数字の持つ美しさに無意識に惹かれていたのでしょう。

すべての数の素になっている素数
よく無味乾燥といわれる数の世界、数学の分野を、もっとおいしく、食べやすくしてくれる
隠し味
にもなっているのが、この「数の素」ではないでしょうか。


sosuu.jpg


Artist : White Snake
Song : Here I Go Again







数学強化週間 第3日目 -黄金比-

ミロのヴィーナス、パルテノン神殿、ピラミッド、ウィトルウィウス的人体図。
共通するものは?

そう、黄金比です。


あるとき、女性の美しさに悩まされたまじめな青年が、女性のとは何かを研究しようとしました。
そして辿り着いた結論は「あばたもえくぼ」。
恋してしまったが為に、相手の何もかもが美しく見えてしまうのだという逆説に辿り着きます。
要するに、女性のといっても所詮それは主観的なもので、普遍的な「永遠の美」などというものは存在しないというわけです。
文学的、心理学的に「」の問題を扱えば。このような主観的な「」が前面に出てくることが多いです。
しかし、こと数学の世界では、とらえがたい「」の基準についても、ちゃんといくつかの理論を持っているのです。
その最たるものが「黄金分割」といわれる比率の存在です。

つまり、この世には、この世のものとは思えない美しさを持つものがあり、それらには、ちゃんと1つの共通点があるということが分かっています。
それは「黄金比」という、この世で最も美しいとされる比率のことです。

発祥は定かではありませんが、紀元前古代ギリシャのピタゴラス学派が起源といわれており、
「黄金」という言葉が使われるようになったのは、19世紀に入ってからではないかとされています。

縦と横の長さが黄金比となるような長方形を、黄金長方形といいますが、その短辺を一辺とする正方形を切り取ると、
残りの四角形は黄金長方形となり、またその短辺を一辺とする正方形を切り取れば、
残りもまたもや黄金長方形となるという特性を持っています。

その「黄金比」は、長さでいうと1対1,618……(2分の1+√5)となり、およそ5対8です。
古くから究極の美の比率として、多くの人を魅了しつづけてきました。

身近なものとしては、
名刺やテレホンカードなどの縦と横の長さも、この黄金比が基になっています。

芸術でも例外ではありません。
ルーブル美術館所蔵「ミロのヴィーナス」は、足元からおへそまでの長さと、頭頂までの長さの関係がやはり5対8黄金比率で、腕などの細かい部分にまで黄金比が隠されています。
そのバランスよく整った美しさに、どれほど多くの人が感嘆の声をあげたのでしょうか。

また自然界にも美しい黄金比は存在しています。
オウム貝が描く螺旋やヒマワリの種の配列、そしてマツボックリやツクシなど、数多くの黄金比を見ることが出来ます。


Fig11.gif

o0569039310181946988.jpg




4分の1の円を、半径1、1、2、3、5、8、…と描いていくと螺旋が出来ます。
1+2
3
5
=8
+8=13
13・・・
と無限に続く。ひまわりの種の並び、オウムガイの渦巻きなど自然界にみられる形。
ヒマワリの場合は、この螺旋にそって右回りと左回りで種をつけることで知られています。

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「ウィトルウィウス的人体図」は本当に見ていて飽きないですね。

04-34009.jpg


ウィトルウィウスとは、紀元前1世紀にローマで活躍した芸術家、建築家で人体各部の比率に注目をして建築理論をまとめた、いわばダ・ヴィンチの先達です。
ダ・ヴィンチは墓を暴いてまで、人体の計測を熱心に行い、
頭頂から床までの長さと、へそから床までの長さの比率、
肩から指先までの長さと肘から指先までの比率、
腰から床までの長さと、膝から床までの長さの比率、
いずれも黄金比になっていることを突き止めます。
手の指、足の指、背骨の区切れ目…、あらゆるところが黄金比でできていて、まるで人間そのものが、黄金比の申し子なのです。

もちろん人間が意識して「」を求めた建物やその他の芸術作品では、当然のように黄金比が使われています。
ギリシャのパルテノン神殿、エジプトのピラミッド、果てにはNYの国連ビルにいたるまで、黄金比の結晶です。
さらにはモーツァルトのソナタやベートーベンの交響曲第5番、バルトーク、ドビュッシー、シューベルトの作品でも、黄金比が構成上の大きな要素を占めているとも指摘します。

生活の中に美意識を求めるヨーロッパの人々は、フラワーアレンジメントにも、その黄金比を活用しています。
遥か昔から今日にいたるまで「」という概念は変わっていないのかもしれませんね。
フラワーアレンジメントをする際に、ポイントとなる3点を決めるのですが、その高さのバランスが、3対5対8で、これは数学的にはとても有名な「フィボナッチ数列」という数の並びになっています。
フィボナッチも人名でレオナルド・フィボナッチと言います。
お気づきでしょうか。
ダ・ヴィンチと同じ名前ですね。
レオナルドです。
イタリアのレオナルドは優秀ですねw

フィボナッチが定義したこの数列は1、1、2、3、5、8、13、21、34、55…のように、
隣り合った数のわが次の数になっているという数列(前述、ヒマワリの写真上部)で、
じつはこの数列間の比が黄金比、すなわち1,618に限りなく近づいていくのです。

なんとオウム貝の渦巻きを500万倍じ拡大すると、ハリケーンの渦巻き雲になり、さらにこれを60兆倍すると渦巻き星雲にぴったり一致するといいます。
また、人間の遺伝子を形作るDNA分子を測定した結果、
その螺旋構造の1単位の長さと幅の比率が、約1,62であることを、イスラエルの学者が見出しました。

こう見てくると、遺伝子という超微細な生命の根源から、無限へ向かう広大な宇宙の果てまで、
すべてこの
黄金比
でできているということは、この比率の別称である
神聖比率」「神の比率」の名の通り、神の意志が働いているとしかいえなくなってしまいます。

一見、数学とは無関係なところにある「」の根源が、こうして数学的に意味付けされ、
さまざまな科学に裏付けされるということは、もう感動を通り越して驚異としか言いようがありません。



「お前はこれから『できるわけがない』というセリフを4回だけ言っていい」
「お前に全ては説明したッ!LESSON4(フォー)だッ!『敬意を払え』ッ!」
「『黄金長方形の軌跡』で回転せよ!そこには『無限に続く力(パワー)』があるはずだ」
これは明日へ布石。
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