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数学強化週間 第2日目 -音楽-

このブログで結構出てくる音楽。
この音楽というものは理屈抜きで心を動かしてきます。
理詰めの議論をする数学とは正反対。
感性のおもむくまま、伸びやかに音を楽しむのです。
ところがその感性・感覚の代表選手のような音楽が、実はその「音階」とか「音律」という基本において、
数学と密接に通じるところがあります。


音階は個々の音を高さ順に並べたものですが、音律は1オクターブの間に一定の秩序によりきちんと配列されたものを言います。
音の法律、それが音律です。
その音律には、数学を学ぶ上で忘れられない人物ピタゴラスによる「ピタゴラス音律」や、
1オクターブを半音ずつ均等割りにした「12平均律」などがあります。
ピタゴラス音律」は、ローマ以降15世紀後半まで、ヨーロッパ音楽全般の音律として用いられていました。

どんな音楽でも「ドレミファソラシド」で表されますが、この「ドレミファソラシド」も固定の音が規定されているというわけでではないのです。
便宜上、色々な「ドレミファソラシド」が存在しては困るので、国際的な取り決めとして「ラ」の音だけを440ヘルツと定めていますが、全体の音律は、相互の周波数の関係を規定することで構成されています。

ピタゴラス音律」では、周波数3対2の純正5度を積み重ねて、1オクターブに7音並べたもので、
その音律で奏でられた和音は、音響学的にもいわゆる自然倍音で成り立つため濁ることがありません。
そのため、現在、「純生律」とも呼ばれて、演奏会などをこの音階で行う運動を展開している人もいます。

もともとモーツァルトやバッハも、現在の音階では作曲してしなかったとかで「純正律」での演奏を聴かせています。
当時の「純正律」を再現した演奏を聴いた人によれば、
とにかく耳に心地よく、とくにハーモニーが澄んで聴こえたような気がしたそうです。

ところが、この「純正律」「ピタゴラス音律」のように、和音がぴったり合う音律を作ってしまうと、
時として弊害が起きてしまうこともあります。
転調がしづらくなることや、7オクターブぐらい繰り返し音階を上げていくと、最初の「ド」と7オクターブ目の「ド」がユニゾンにならなくなってしまい、教会で演奏すると「狼のうなり」と呼ばれるようなうなり音になってしまったのです。

この「ピタゴラス音律」の微妙なズレを「ピタゴラスコンマ」と呼び、そのうなりを取り除くために考え出されたのが「12平均律」というわけです。
12平均律」は「ピタゴラス音律」に対して、1オクターブの音程を均等な周波数比で12等分した音律です。

つまり、同じ定数倍をずっと掛けていく定数倍率で作ったのが「12平均律」ということになります。

12平均律」により、「狼のうなり」は無くなりましたが、今度は「ド」と「ソ」の周波数率比が約1・49となり、「ピタゴラス音律」のように振動数比が1・5と、単純な整数比になる音程ではないため、きれいな和音ができなくなってしまいます。

転調がしやすい「12平均律」、
そして和音が濁らない「ピタゴラス音律」。

どちらも一長一短というわけですが、完璧な音律は、永遠に出来ないということなんです。


シンセサイザーを誕生させたフーリエ解析や18世紀最高の数学者と呼ばれるオイラーの「オイラー音律」、
ドイツの天文学者であり数学者であるヨハネス・ケプラーの「ケプラー音律」などなど数学者と音楽は密接な関係にあるのです。



Artist : Julie Andrews
Song : Do Re Mi





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