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数学強化週間 第6日目  ー不完全性定理ー

数学者達が追い求めた世界。
それはロジカルコンシステンシーという論理的整合性のとれた世界で、それはこの上なく美しい、1つも矛盾のない完全無欠な数学の世界のことです。

その美しい世界は、数学者たちにとっての桃源郷でもあり、その世界を築き上げることに、
多くの数学者達が、長い年月を費やしてきました。

それは、人間が宇宙の法則によって誕生してからずっと、追い求めてきた世界なのかもしれません。
いわゆる四大文明が誕生するとともに、数学が誕生したといわれていますが、
すべてにおいて白黒ハッキリさせられるという桃源郷を追求することが、世界の数学者達の最大の夢だったようです。

19世紀のニュートン、18世紀のオイラーらによって考え出された微分積分学は、
19世紀に入りコーシーらによってその土台固めが行われることになり、
やがてカントールデデキントらの集合論というより抽象度の高い議論につながっていきました。
しかし、その集合論の中にもパラドックスが発見されてしまい、数学の土台の研究はいっそう拍車がかかっていたのです。

そして20世紀初頭、数学基礎論、数学論理学といった数字それ自体を研究する数学が活発になっていきました。
とくにヒルベルトという数学者は、数学の無矛盾性を証明することを大きな夢としていました。


ところが、このヒルベルトの夢に対して「待った!」をかけ、
数学者の夢を根底から崩してしまうような論文が、1931年に発表されました。
それが、チェコスロバキア生まれの数学論理学者ゲーデル
不完全性定理
です。

その論文は世界に大きな衝撃を与え、論文発表のニュースは全世界を駆け巡りました。
数学界ばかりか科学の世界に大きなショックを与えることになったのです。

数学の土台の完璧さを証明しようというヒルベルトの夢に対して、
ゲーデルの「不完全性定理」は「数学はその完璧さ(無矛盾性)を証明することは出来ない」ということを証明してしまったのです。
正しいのに証明出来ないことがあるというのです。
私たちの論理的思考には限界があることをゲーデルの「不完全性定理」は教えてくれたのです。

ゲーデルの「不完全性定理」は2つに分けて議論されています。

第1の不完全性定理は、
「いかなる論理体系においても、その論理体系によってつくられる論理式の中には、証明することも反証することもできないものが存在する」。
そして第2の不完全性定理は、
「いかなる論理体系でも無矛盾であるとき、その無矛盾性をその体系の公理系だけでは証明出来ない」。

これは論理で築き上げた世界を、さらに上の論理の世界で説明するもので、これを「超数学」とも言います。

数学は、論理の世界の言葉メタランゲージ(前言語)を使って説明とするものですが、
「超数学」では、さらにその上のメタランゲージ、つまりメタの上のメタ、
メタメタランゲージ(前々言語)を使って論理する世界です。

なかなか理解するのが困難になってきましたが、ちょっと乱暴に言ってしまうと、
それまでオセロゲームのように白と黒しかないと思われた世界に、
白か黒かハッキリ証明出来ないものがある、ということを証明したのです。

このようにして、論理的に実証されていたかのように見えた数学者達の桃源郷は、
ゲーデルの「不完全性定理」によって破られ、音を立てて崩れていったかのように思われました。

しかし、ゲーデルの理論はやはり厳密な数学理論なのです。
なぜなら、合理的思考の限界、言葉の構造の深い理解は彼の数学によってもたらされたわけですから。

ちなみに、ゲーデルと並ぶ論理学者ゲンツェンは「不完全性定理」の壁を乗り越え、
自然数論の無矛盾性証明(自然数世界が桃源郷であること)を成し遂げたのです。


この世に完璧などあるのでしょうか。
たとえ自然数だとしても…。


さて残るは最終日だけとなりました。
みなさん、最後まで突っ走りましょうw
最近難しい気がしますが、気のせいです。
数学は楽しいですね!

Artist : Alejandro Sanz Y Alicia Keys
Song : Looking for Paradise



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